Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je nekone\u010dn\u00e9; nen\u00ed rozd\u00edlu.<\/i> AL I:4<\/p>\n
\u00daVOD
\n Ke skute\u010dnostem, o nich\u017e budu v tomto p\u0159\u00edsp\u011bvku pojedn\u00e1vat, mne p\u0159ivedla kamar\u00e1dka Helena K., studentka informatiky se z\u00e1jmem o teoretickou matematiku, kter\u00e1 nikdy nev\u011b\u0159ila na magii a podobn\u00e9 nesmysly<\/i> a v\u017edy ji p\u0159ekvapovalo, \u017ee se takov\u00fdmi v\u011bcmi v\u016fbec zab\u00fdv\u00e1m. Kdy\u017e jsme jednoho p\u0159\u00edjemn\u00e9ho ve\u010dera sed\u011bli v Blues baru na Traubov\u011b ulici, \u0159ekla mi, \u017ee \u010d\u00edm hloub\u011bji se zab\u00fdv\u00e1 fundamenty matematiky, t\u00edm v\u00edc c\u00edt\u00ed, \u017ee za t\u00edmto sv\u011btem se skr\u00fdv\u00e1 N\u011bco<\/b>, co n\u011bjak\u00fdm zp\u016fsobem souvis\u00ed s matematick\u00fdm pojmem pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy<\/i>. Na\u010de\u017e mi objasnila, jak\u00fdm zp\u016fsobem sou\u010dasn\u00e1 matematika definuje p\u0159irozen\u00e1 \u010d\u00edsla. Bylo to velice zaj\u00edmav\u00e9 a tak jsem si od n\u00ed vyp\u016fj\u010dil skripta o tomto pojedn\u00e1vaj\u00edc\u00ed a d\u016fkladn\u011bji se nad nimi zahloubal. Tu \u010d\u00e1st, kter\u00e1 je pro n\u00e1s obzvl\u00e1\u0161t\u011b zaj\u00edmav\u00e1, jsem se pokusil p\u0159evypr\u00e1v\u011bt tak, aby byla i pro matematick\u00e9 laiky v maxim\u00e1ln\u00ed m\u00ed\u0159e srozumiteln\u00e1. Zda se mi to povedlo, posu\u010fte sami…<\/p>\n
TEORIE MNO\u017dIN A DEFINICE P\u0158IROZEN\u00ddCH \u010c\u00cdSEL
\n Konstrukce p\u0159irozen\u00fdch \u010d\u00edsel v matematice vych\u00e1z\u00ed z teorie mno\u017ein, kterou vybudoval n\u011bmeck\u00fd matematik Georg Cantor kolem roku 1872. Pojem mno\u017einy se stal z\u00e1kladn\u00edm pojmem matematiky. Po\u017eadujeme jen, aby ka\u017ed\u00e1 mno\u017eina byla ur\u010dena sv\u00fdmi prvky, tak\u017ee si ji m\u016f\u017eeme p\u0159edstavovat jako souhrn prvk\u016f (toto nen\u00ed p\u0159esn\u00e1 definice, ale to nen\u00ed p\u0159edm\u011btem tohoto p\u0159\u00edsp\u011bvku). Z\u00e1kladn\u00ed a vlastn\u011b jedinou vlastnost\u00ed mno\u017ein je, \u017ee maj\u00ed prvky, p\u0159i\u010dem\u017e tyto prvky jsou rovn\u011b\u017e mno\u017einami. P\u0159itom v\u016fbec ne\u0159\u00edk\u00e1me, co to mno\u017eina je, zaj\u00edm\u00e1me se jen o to, zda jedna mno\u017eina je prvkem druh\u00e9 mno\u017einy.
\nVlastnost b\u00fdt prvkem<\/i> je tedy vztahem mezi dv\u011bma mno\u017einami, tak jako vlastnost b\u00fdt p\u0159\u00edbuzn\u00fd<\/i> je vztahem mezi lidmi. Prvek<\/i> je tedy pomocn\u00fd pojem, kter\u00fd nem\u00e1 smysl s\u00e1m o sob\u011b, ale pouze jako ozna\u010den\u00ed vztahu (tedy ve spojen\u00ed b\u00fdt prvkem<\/i>). Ve skute\u010dnosti v teorii mno\u017ein nem\u00e1me jin\u00e9 objekty, ne\u017e mno\u017einy.
\n Fakt, \u017ee mno\u017eina je ur\u010dena sv\u00fdmi prvky, je vyj\u00e1d\u0159en axiomem extensionality<\/b>: Dv\u011b mno\u017einy maj\u00ed tyt\u00e9\u017e prvky pr\u00e1v\u011b tehdy, kdy\u017e jsou si rovny (plat\u00ed obousm\u011brn\u011b).
\n Existuje mno\u017eina, kter\u00e1 se vyzna\u010duje t\u00edm, \u017ee nem\u00e1 \u017e\u00e1dn\u00e9 prvky. Naz\u00fdv\u00e1 se pr\u00e1zdn\u00e1<\/i> a ozna\u010duje se -0- (p\u0159e\u0161krtnutou nulou; de, aby nevznikly zmatky se zobrazen\u00edm, budu pou\u017e\u00edvat znak -0-). Mluv\u00edme o axiomu pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy<\/b>.
\n Jestli\u017ee libovoln\u00fd prvek mno\u017einy A je prvkem mno\u017einy B, pak je mno\u017eina A podmno\u017einou<\/i> mno\u017einy B. Pro libovolnou mno\u017einu<\/i> plat\u00ed, \u017ee \u017ee -0- (pr\u00e1zdn\u00e1 mno\u017eina<\/i>) je jej\u00ed podmno\u017einou.
\n Stejn\u011b jako pojem prvek<\/i>, nem\u00e1 ani pojem podmno\u017eina<\/i> s\u00e1m o sob\u011b smysl \/ka\u017ed\u00e1 mno\u017eina je jak prvkem, tak podmno\u017einou jin\u00e9 mno\u017einy); smysl m\u00e1 jen vztah b\u00fdt podmno\u017einou<\/i>. Podmno\u017einy a prvky nelze zam\u011b\u0148ovat. Pokud si mno\u017einy p\u0159edstavujeme v hmotn\u00e9 podob\u011b, lze velmi t\u011b\u017eko vysv\u011btlit podstatn\u00fd rozd\u00edl mezi prvkem a<\/i> a podmno\u017einou {a}<\/i> mno\u017einy A. Je t\u0159eba se dr\u017eet d\u016fsledn\u00e9 definice podmno\u017einy. Nap\u0159\u00edklad pr\u00e1zdn\u00e1 mno\u017eina nem\u016f\u017ee b\u00fdt prvkem pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy (vyzna\u010duje se t\u00edm, \u017ee nem\u00e1 prvky), ale plat\u00ed, \u017ee pr\u00e1zdn\u00e1 mno\u017eina je podmno\u017einou pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy (pr\u00e1zdn\u00e1 mno\u017eina je podmno\u017einou pro libovolnou mno\u017einu, tedy i pro sebe sama). Prvn\u00ed tvrzen\u00ed tedy vypl\u00fdv\u00e1 z definice pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy, druh\u00e9 z definice pojmu b\u00fdti podmno\u017einou<\/i>. Vskutku ka\u017ed\u00fd prvkem mno\u017einy -0- je prvkem mno\u017einy -0-…
\n Z mno\u017ein lze tvo\u0159it nov\u00e9 mno\u017einy sjednocen\u00edm, pr\u016fnikem a rozd\u00edlem p\u016fvodn\u00edch mno\u017ein (detaily zde pom\u00edj\u00edm).
\n M\u00e1me-li mno\u017einy A, B, m\u016f\u017eeme vytvo\u0159it novou mno\u017einu {A,B}, kter\u00e1 m\u00e1 za prvky pr\u00e1v\u011b A a B. Tento zp\u016fsob tvorby mno\u017ein se naz\u00fdv\u00e1 axiom dvojice<\/b>.
\n Pomoc\u00ed axiomu dvojice m\u016f\u017eeme z pr\u00e1zdn\u00e9 mno\u017einy -0- vytvo\u0159it nov\u00e9 mno\u017einy, nap\u0159. {-0-}, {{-0-}}, {-0-,{-0-}}, atd. T\u00edmto zp\u016fsobem m\u016f\u017eeme definovat p\u0159irozen\u00e1 \u010d\u00edsla:
\n 0 = -0-
\n 1 = {-0-, -0-} = {-0-}
\n 2 = {-0-, {-0-}}
\n 3 = {-0-, {-0-}, {-0-, {-0-}}}
\n atd.
\n V\u017edy n = n={0, 1, . . ., n-1}<\/i>
\n Tedy p\u0159irozen\u00e1 \u010d\u00edsla jsou mno\u017einy. Rovn\u011b\u017e m\u016f\u017eeme vytvo\u0159it mno\u017einu v\u0161ech nez\u00e1porn\u00fdch cel\u00fdch \u010d\u00edsel, naz\u00fdv\u00e1me to axiomem nekone\u010dna<\/b>.
\n Dal\u0161\u00ed v\u00fdklad pom\u00edj\u00edm, z\u00e1jemci jej najdou v literatu\u0159e a t\u011bm, kdo se z\u00e1klady matematiky hloub\u011bji zab\u00fdvat nehodlaj\u00ed, je pro vytvo\u0159en\u00ed z\u00e1kladn\u00ed p\u0159edstavy o konstrukci p\u0159irozen\u00fdch \u010d\u00edsel tento zjednodu\u0161en\u00fd v\u00fdklad dosta\u010duj\u00edc\u00ed.
\n (podle skript: Ji\u0159\u00ed Rosick\u00fd, Josef Niederle: Z\u00e1klady matematiky, 2001)<\/i><\/p>\n
Z\u00c1V\u011aR:
\n Nyn\u00ed se pokus\u00edm formulovat d\u016fsledky \u0159e\u010den\u00e9ho trochu jin\u00fdm jazykem, abychom l\u00e9pe z\u00edskali v\u00fdsledn\u00fd obr\u00e1zek a l\u00e9pe na\u0161li souvislosti s p\u0159edm\u011btem na\u0161eho z\u00e1jmu.
\n Tedy:<\/i>
\n Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je v\u00fdslednic\u00ed v\u0161ech p\u0159edchoz\u00edch \u010d\u00edsel po\u010d\u00ednaje nulou. Struktura ka\u017ed\u00e9ho \u010d\u00edsla v sob\u011b obsahuje struktury v\u0161ech p\u0159edch\u00e1zej\u00edc\u00edch \u010d\u00edsel. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je tedy jedine\u010dnou strukturou mno\u017ein a podmno\u017ein, jejich\u017e z\u00e1kladem je ale v\u017edy pr\u00e1zdn\u00e1 mno\u017eina<\/i>, tedy nula, Nic, Ajn<\/i>. Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je tedy unik\u00e1tn\u00ed strukturou forem bez obsahu. Z toho tak\u00e9 plyne, \u017ee ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je, co se do sv\u00e9 struktury t\u00fd\u010de, jedine\u010dn\u00e9. Co se obsahu t\u00fd\u010de, je jeho z\u00e1kladem pr\u00e1zdnota<\/i>, nula, tedy nekone\u010dno<\/i>; co se vnit\u0159n\u00ed podstaty t\u00fd\u010de, nen\u00ed rozd\u00edlu<\/i> (AL I:4).<\/p>\n
Strukturu \u010d\u00edsla lze tedy zn\u00e1zornit tak\u00e9 takto (vezm\u011bme t\u0159eba \u010d\u00edslo 10):
\n 0123456789
\n 012345678
\n 01234567
\n 0123456
\n 012345
\n 01234
\n 0123
\n 012
\n 01
\n 0 <\/b><\/p>\n
Nep\u0159ipom\u00edn\u00e1 v\u00e1m to n\u011bco? …<\/p>\n
16.1. 2006, Kojot<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ka\u017ed\u00e9 \u010d\u00edslo je nekone\u010dn\u00e9; nen\u00ed rozd\u00edlu. AL I:4 \u00daVOD Ke skute\u010dnostem, o nich\u017e budu v tomto p\u0159\u00edsp\u011bvku pojedn\u00e1vat, mne p\u0159ivedla<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"colormag_page_container_layout":"default_layout","colormag_page_sidebar_layout":"default_layout","footnotes":""},"categories":[6],"tags":[19,8],"class_list":["post-289","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-exegeze-al","tag-al-exegeze","tag-made-by-moth"],"yoast_head":"\n